Jediblog » 42 und ihre Nähe zu Primzahlen:

(siehe 37, 41, 43, 47)

Die Antwort auf die Frage nach dem Leben, dem Univserum und dem ganzen Rest ist bekanntlich 42. Wenn man also vor die Frage gestellt wird, welche Primzahlen es gibt, so ist es naheliegend, von 42 auszugehen.

Schnell wird man feststellen, dass Zahlen der Form $5+42k$ häufig Primzahlen sind. Die 5 ist dabei nicht willkürlich gewählt, sondern die Primzahl, welche die geringste Differenz zur Quersumme von 42 aufweist, ohne dabei 42 zu teilen.

Die Formel liefert offensichtlich für $k=5j$ keine Primzahlen. Alle anderen $k<20$ , für die $5+42k$ keine Primzahl ist, lassen sich relativ intuitiv erklären:

$5+42\cdot 7=299=13\cdot 23$ , wobei $13+23=42-(4+2)$ ist.
$5+42\cdot 8=347=11\cdot 31$ , wobei $11+31=42$ ist.
$5+42\cdot 13=551=19\cdot 29$ , wobei $19+29=42+(4+2)$ ist.
$5+42\cdot 19=803=11\cdot 73$ , wobei $11+73=42+42$ ist.

Die Primzahldichte der Formel nimmt leider immer weiter ab, je größer k. Bei $k<100.000$ liefert sie immerhin noch zu mehr als $20\%$ Primzahlen.

Eine etwas weniger elegante, dafür dichtere Formel ist $n^2-n+41$ . Diese liefert tatsächlich für die ersten 42 n, nämlich für $n\in\{0,\dots,41\}$ ausschließlich Primzahlen.

Diesen Artikel hatte ich vor einiger Zeit bereits an anderer Stelle veröffentlicht, wo er nun jedoch nicht mehr zugänglich ist.

Ergänzung:

Testet man stattdessen $42k-5$ , so trifft man für $k<20$ immerhin noch 10 Primzahlen. Allerdings lassen sich nur noch drei der Ausreißer halbwegs intuitiv erklären:

$42\cdot 6-5=247=13\cdot 19$ , wobei $13+19+1+9=42$ ist.
$42\cdot 7-5=289=17\cdot 17$ , wobei $17+17+1+7=42$ ist.
$42\cdot 14-5=583=11\cdot 53$ , wobei $53-11=42$ ist.